\(BT=\frac{a^2\left(b-c\right)+b^2c-b^2a+c^2a-c^2b}{a^4\left(b^2-c^2\right)+b^4c^2-b^4a^2+c^4a^2-c^4b^2}\)

\(=\frac{a^2\left(b-c\right)+bc\left(b-c\right)-a\left(b^2-c^2\right)}{a^4\left(b^2-c^2\right)+b^2c^2\left(b^2-c^2\right)-\left(b^4-c^4\right)a^2}\)

\(=\frac{\left(b-c\right)\left(a^2+bc-a\left(b+c\right)\right)}{\left(b^2-c^2\right)\left(a^4+b^2c^2-a^2\left(b^2+c^2\right)\right)}\)

\(=\frac{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}{\left(b+c\right)\left(a^2-b^2\right)\left(a^2-c^2\right)}\)

\(=\frac{1}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)}\)

\(\frac{a^2\left(b-c\right)+b^2\left(c-a\right)+c^2\left(a-b\right)}{a^4\left(b^2-c^2\right)+b^4\left(c^2-a^2\right)+c^4\left(a^2-b^2\right)}\)

= \(\frac{a^2\left(b-c\right)+b^2c-c^2b-a\left(b^2-c^2\right)}{a^4\left(b^2-c^2\right)+b^4c^2-c^4b^2-a^2\left(a^4-b^4\right)}\)

= \(\frac{\left(b-c\right)\left(a-b\right)\left(c-a\right)}{\left(b^2-c^2\right)\left(a^2-b^2\right)\left(c^2-a^2\right)}\)

= \(\frac{1}{\left(b+c\right)\left(a+b\right)\left(c+a\right)}\)

\(\frac{a^2\left(b-c\right)+b^2\left(c-a\right)+c^2\left(a-b\right)}{^{^{ }}a^4\left(b^2-c^2\right)+b^4\left(c^2-a^2\right)+c^4\left(a^2-b^2\right)}\)

=\(\frac{a^2b-a^2c+b^2c-b^2a+c^2a-c^2b}{a^4b^2-a^4c^2+b^4c^2-b^4a^2+c^4a^2-c^4b^2}\)

*Rút gọn âm và dương đối nhau ( VD: \(a^2\)và\(-a^2\)), còn lại bạn tự tìm thêm nhé :)

\(\frac{b-c+c-a+a-b}{b^2-c^2+c^2-a^2+a^2-b^2}\)

Ta lại rút gọn các cặp đối nhau ( như trên VD)

Kết quả cuối cùng là 0

Đặt biểu thức đã cho là A

Xét tử: \(a^2\left(b-c\right)+b^2\left(c-a\right)+c^2\left(a-b\right)\)

\(=a^2b-a^2c+b^2c-b^2a+c^2\left(a-b\right)\)

\(=\left(a^2b-b^2a\right)-\left(a^2c-b^2c\right)+c^2\left(a-b\right)\)

\(=ab\left(a-b\right)-c\left(a-b\right)\left(a+b\right)+c^2\left(a-b\right)\)

\(=ab\left(a-b\right)-\left(a-b\right)\left(ca+bc\right)+c^2\left(a-b\right)\)

\(=\left(a-b\right)\left(ab-ca-bc+c^2\right)\)\(=\left(a-b\right)\left[a\left(b-c\right)-c\left(b-c\right)\right]=\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(b-c\right)\)

Xét mẫu : làm tương tự như trên ta được 

\(a^4\left(b^2-c^2\right)+b^4\left(c^2-a^2\right)+c^4\left(a^2-b^2\right)=\left(a^2-b^2\right)\left(a^2-c^2\right)\left(b^2-c^2\right)\)

\(=\left(a-b\right)\left(a+b\right)\left(a-c\right)\left(a+c\right)\left(b-c\right)\left(b+c\right)\)

\(\Rightarrow A=\frac{1}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(b+c\right)}\)

Ta có: 

a²(b - c) + b²(c - a) + c²(a - b)

= (a - b)(c - a)(c - b)

Ta lại có:

a⁴(b² - c²) + b⁴(c² - a²) + c⁴(a² - b²)

= (a - b)(c - a)(c - b)(a +b)(b + c)(c + a)

Từ đây ta có phân số ban đầu sẽ bằng 

\(\frac{\left(a-b\right)\left(c-a\right)\left(c-b\right)}{\left(a-b\right)\left(c-a\right)\left(c-b\right)\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}=\frac{1}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)

kc cho mh nhé.

=a ³ + 

b⁴ + 5c

a^{2 (b-c) +} b^{2 (c -a ) +}  c^{2 ( a - b )}

^{= ( a -b ) ( c-a ) (c-b)}

^{Ta lại có :} 

a^{4  (} b^{2  -}  c^{2 )  +}  b^{4 (} c^{2 -} a^{2 ) +} c⁴  ( a^{2 -}b^{2 )}

^{= ( a-b) (c-a) (c-b) (a+b) (b+c) (c+a)}

^{từ đây ta có phân số ban đầu sẽ bằng}

                                                                                                ( a-b) (c-a) (c-b)                                                                                            1                                                                                                                                                                                                       =                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                  (a-b) (c-a) ( c-b) (a+b)(b+c) (c+a)                                             (a+b) (b+c)(c+a)

Phân tích mẫu thức thành nhân tử :

\(a^2\left(b-c\right)+b^2\left(c-a\right)+c^2\left(a-b\right)\)

\(=a^2\left(b-c\right)+b^2c-ab^2+ac^2-bc^2\)

\(=a^2\left(b-c\right)+bc\left(b-c\right)-a\left(b^2-c^2\right)\)

\(=\left(b-c\right)\left(a^2+bc-ab-ac\right)\)

\(=\left(b-c\right)\left[a\left(a-b\right)-c\left(a-b\right)\right]=\left(b-c\right)\left(a-c\right)\left(a-b\right).\)

Do đó : \(A=\frac{\left(b-c\right)^3+\left(c-a\right)^3+\left(a-b\right)^3}{-\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}\)

Nhận xét : Nếu \(x+y+z=0\) thì \(x^3+y^3+z^3=3xyz.\)

Đặt \(b-c=x,c-a=y,a-b=z\) thì \(x+y+z=0\)

Theo nhận xét trên : \(A=\frac{x^3+y^3+z^3}{-xyz}=\frac{3xyz}{-xyz}=-3.\)

Tử:

(b - c)³ + (c - a)³ + (a - b)³

= (b - c + c - a + a - b)³ - 3(b - c + c - a)(b - c + a - b)(c - a + a - b)

= 0 - 3(b - a)(a - c)(c - b)

= 3(a - b)(a - c)(c - b)

Mẫu:

a²(b - c) + b²(c - a) + c²(a - b)

= a²(b - c) + b²c - ab² + ac² - bc²

= a²(b - c) - a(b² - c²) + bc(b - c)

= a²(b - c) - a(b - c)(b + c) + bc(b - c)

= (b - c)(a² - ab - ac + bc)

= (b - c)[a(a - b) - c(a - b)]

= (b - c)(a - b)(a - c)

\(A=\frac{3\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(c-b\right)}{\left(b-c\right)\left(a-b\right)\left(a-c\right)}\)

\(=\frac{3\left(c-b\right)}{b-c}\)